Способность мгновенно, легко и быстро считать – одна из определяющих вашего успеха. Мы научим вас считать в уме, как компьютер. Удивите скептических знакомых и вредных учителей!

Талантливый российский ученый Михайло Ломоносов, блиставший во многих научных областях, всегда считал математику своей любимой наукой, отлично приводящей в порядок ум. Современным людям в условиях ускоренных темпов жизни умение считать устно может здорово пригодиться.

Согласитесь, намного удобнее производить вычисления, не прибегая к помощи специальных устройств – это всегда экономия времени и денежных затрат. Более того, регулярные устные вычисления – отличная гимнастика для ума, а владение быстрым счетом обычно производит впечатление на тех, кто такой способности лишен.

Научиться считать в уме просто!

Некоторые из нас прекрасно справляются устно с такими математическими операциями, как: умножение двузначных чисел на однозначные, нахождение произведения в пределах 20 и перемножение несложных двузначных чисел. Для кого-то подобные быстрые вычисления составляют определенную трудность, и таких людей большинство. Часто человека к этому вынуждают обстоятельства, когда без навыка быстро считать в уме не обойтись. Обычно это математики по образованию или те, кому ежедневно приходится производить ставшие уже привычными арифметические расчеты.

Разнообразные способности, которые заложены практически в каждом при рождении, нуждаются в развитии и постоянной тренировке. Однако не так часто встречаются отдельные личности, поражающие быстротой решения сложных примеров, состоящих из трехзначных чисел. Обычному человеку бывает сложно совершить подобные действия даже в письменном варианте.

Дотянуться до таких высот реально, если научиться применять определенные разработанные учеными методики быстрого счета в уме. Чтобы в будущем радоваться результату, поражать окружающих живостью мышления, а также с целью выработки навыка устных вычислений — важны следующие элементы:

1. Приобретенные способности
Большую роль играют хорошая концентрация внимания и одновременное запоминание нескольких фактов, врожденные математические наклонности и способность логически мыслить (выделять важное, обращая внимание на второстепенное, приходя к выводам и имея доказательства).

2. Знание математических алгоритмов
Понимание математических законов, эффективные схемы вычитания и умножения должны быть заложены в памяти как результат многократного опыта. Такие алгоритмы должны при необходимости «вспоминаться» и оперативно использоваться.

3. Опыт, полученный путем регулярных тренировок
На скорость и успешный результат устного счета влияет постоянная тренировка внимания и памяти, постепенно усложняющаяся для решения задач.

Феноменальные способности и знание определенных формул не будут эффективно действовать без регулярного применения на практике. Потому «тренируйтесь» регулярно.

Методика визуального представления

Производя устные вычисления, можно помочь себе, как бы мысленно записывая их в воздухе перед собой. Запоминание промежуточных результатов в представляемых образах намного облегчает задачу счета. Эффективность будет достигаться с практикой не без следующих важных условий и умений:

• Условие игры. Когда изобретательные родители хотят от ребенка успешного и более быстрого выполнения какой-то скучной задачи, им достаточно превратить обычный ежедневный учебный процесс в игру. Результат такой «игры» будет потрясающим. Если попытаться отыскать что-то необычное в любом самом привычном действии (в решении математических примеров в том числе), то заниматься умножением будет гораздо проще и эффективнее. При этом не забывайте, что игра должна всегда быть увлекательной и пробуждать у ребенка желание возвращаться к ней снова и снова.
• Условие азарта. Чтобы во время игры не пропадала первоначальная увлеченность (азарт), важны ее установленные четкие правила.
• Условие соперничества. Занимаясь в одиночку, труднее достигнуть нужного эффекта, чем соревнуясь с достойными соперниками. Осознание того, что кто-то сможет сделать лучше, заставляет стремиться к новым достижениям. Упражнения в устном счете формате небольшого коллектива дают результаты на порядок выше, чем зубрежка в одиночестве.
• Условие фиксации личных достижений. Желание превзойти свои прежние достижения также толкает к новым вершинам. В связи с этим, фиксировать можно и скорость вычисления, и количество, и сложность примеров, решенных за определенную единицу времени.
• Умение справляться со скучной работой. Необходимо научиться нормально воспринимать скучную, однообразную работу. Психологи рекомендуют находить разные методы борьбы со скукой. Подойдет даже изучение событий за окошком или переключение внимание на движение часовой стрелки.
• Умение не воспринимать помехи. Если приучить себя не отвлекаться на окружающие шумы и помехи, концентрация внимания намного повысится. Есть люди, которые привыкли выполнять задания различной сложности и в небольших густонаселенных шумных квартирах, и в общежитиях, где невозможно остаться одному. Они не обращают внимания на помехи и способны выполнять решать все задачи, что от них требуются. Тренировать такую способность можно, специально — пытаясь делать вычисления при включенной музыке, телевизоре, в шумной компании.

Существует такое особое состояние (транс), когда вошедший в него человек концентрируется на чем-то определенном и перестает отвлекаться на окружающую обстановку и даже на сигналы собственного организма. В трансе возможно сохранение самой неудобной позы в течение длительного промежутка времени. Человек, увлеченный интересным чтением или сёрфингом в интернете, может не заметить, как затекла нога или шея. Повышенное внимание к содержанию книги или интернетной статьи отвлекло от сигналов, подаваемых организмом.

Чтобы быстро справляться с устным счетом, нужно уметь пользоваться целым набором коротких, но эффективных математических правил. Решение более сложных примеров упроститься, если использование представленных ниже правил станет автоматическим, практически мгновенным.

Полезные арифметические правила:

1. Вычитание

+ При отнимании 9 от любого числа из него вычитают 10 и добавляют 1:
N-10+1
321-9 = 321-10+1 = 312

+ При отнимании 8 от любого числа из него вычитают 10 и добавляют 2:
N-10+2
321-8 = 321-10+2 = 313

+ При отнимании 7 от любого числа из него вычитают 10 и добавляют 3:
N-10+3
321-7 = 321-10+3 = 314

2. Умножение и деление

+ Любые числа умножаются на 9 легко и просто: следует умножить заданное число на 10 (или просто приписать ноль), а от полученного числа отнять исходное:
Nх9 = Nx10 – N
63х9 = 630 – 63 = 567
Это самый быстрый способ произвести подобные вычисления. Его рекомендуем довести до полного втомата.

+ Некруглые числа умножаются на 2 таким нехитрым способом:
сначала их округляют до удобных для умножения ближайших значений. Например, если необходимо посчитать 149х2, то проще для начала умножить 150 на 2, а после вычесть из результата 2 (1х2 = 2 – ведь это 1 не хватало нам до 150). Итого получаем пример:
149х2 = 150х2 — (1х2) = 298

+ По схожему принципу можно делить на 2 некруглые числа: округляется число, которое делят на 2, и из него вычитают. Делим это число на 2-ку, отнимаем 1 (последняя цифра получена в процессе деления прибавленной 2-ки на 2-ку.
В результате деление 198 на 2 равняется: 200:2 – 2:2 = 100 – 1 = 99!

+ Математики вывели закономерность, по которой умножение на 5 практически приравнивается к делению на 2. Пример: 33х5 = 165, 33:2 = 16,5
Из этого следует, что при умножении на 5 любого из чисел, его стоит разделить на 2, а после этого умножить на 10:
68х5 = 68:2х10 = 34х10 = 340

+ Чтобы умножить какое-то число на 25, иногда проще его разделить на 4, а после увеличить в 100 раз (или приписать два нуля). Ведь умножение на 25 отчасти эквивалентно делению на 4:
8х25 = 8:4х100 = 200

+ Неслабые трудности при вычислениях в уме представляет умножение двузначных и трехзначных чисел на однозначные. Чтобы справиться и с этим, необходимо разряды многозначных чисел перемножать по очереди (начиная слева направо). При умножении 54 на 3 для начала перемножаем 5 и 3, дописывая ноль (учтем, что это разряд десятков). После этого складываем результат с произведением 4х3.
54х3 = 5х3х10+4х3 = 150+12 = 162
Попробуем умножить на однозначное трехразрядное число:
541х3 = 5х3х100+4х3х10+1х3 = 1500+120+3 = 1623

Прогнозирование конечного результата при счете в уме

В операциях умножения, особенно если приходится оперировать многозначными числами, можно легко сбиться с толку и ошибиться с результатом. Во избежание этого нужно грамотно «прогнозировать» ответ.

• Перемноженные между собой однозначные числа не дадут произведения, большего 81. Ведь 9х9 = 81.
• При умножении двузначных чисел конечный итог не превысит 10 000, так как 99х99 = 9801.
• Произведение двух трехзначных чисел не будет больше 1 000 000. Ведь 999х999 = 998001.
• Важно помнить деление 1000 на 2, 4, 8, 16. Всегда пригодится держать в голове результат деления чисел, кратных 10 и чисел, кратных 2: 1000 = 2х500 = 4х250 = 8х125 = 16х62,5.

Перечисленные выше формулы являются основными для устного счета. Преодоление трудностей со сложными примерами — в регулярных упражнениях. Доведение до автоматизма арифметических операций позволит вам решать просто неподъемные для обычного человека математические задачки. Восхищайте своими интеллектуальными способностями окружающих!

Как объяснить ребенку деление столбиком? Как дома самостоятельно отработать навык деления в столбик, если в школе ребенок что-то не усвоил? Делить столбиком учат во 2-3 классе, для родителей, конечно, это пройденный этап, но при желании можно вспомнить правильную запись и объяснить доступно своему школьнику то, что понадобится ему в жизни.

xvatit.com

Что должен знать ребенок 2-3 класса, чтобы научиться делить в столбик?

Как правильно объяснить ребенку 2-3 класса деление столбиком, чтобы в дальнейшем у него не было проблем? Для начала, проверим, нет ли пробелов в знаниях. Убедитесь, что:

• ребенок свободно выполняет операции сложения и вычитания;
• знает разряды чисел;
• знает назубок таблицу умножения.

Как объяснить ребенку смысл действия «деление»?

• Ребенку нужно объяснить все на наглядном примере.

Попросите разделить что-либо между членами семьи или друзьями. Например, конфеты, кусочки торта и т.п. Важно, чтобы ребенок понял суть — разделить нужно поровну, т.е. без остатка. Потренируйтесь на разных примерах.

Допустим, 2 группы спортсменов должны занять места в автобусе. Известно сколько спортсменов в каждой группе и сколько всего мест в автобусе. Нужно узнать, сколько билетов нужно купить одной и второй группе. Или 24 тетради нужно раздать 12 ученикам, сколько достанется каждому.

• Когда ребенок усвоит суть принципа деления, покажите математическую запись этой операции, назовите компоненты.
• Объясните, что деление – это операция противоположная умножению, умножение наизнанку.

Удобно показать взаимосвязь деления и умножения на примере таблицы.

Например, 3 умножить на 4 равно 12.
3 — это первый множитель;
4 — второй множитель;
12 — произведение (результат умножения).

Если 12 (произведение) разделить на 3 (первый множитель), получим 4 (второй множитель).

Компоненты при делении называются иначе:

12 — делимое;
3 — делитель;
4 — частное (результат деления).

Как объяснить ребенку деление двузначного числа на однозначное не в столбик?

Нам, взрослым, проще «по старинке» записать «уголком» — и дело с концом. НО! Дети еще не проходили деление в столбик, что делать? Как научить ребенка делить двузначное число на однозначное не используя запись столбиком?

Возьмем для примера 72:3.

Все просто! Раскладываем 72 на такие числа, которые легко устно разделить на 3:
72=30+30+12.

72:3=24
Мы не использовали деление в столбик, но ребенку был понятен ход рассуждений, и он выполнил вычисления без труда.

После простых примеров можно переходить к изучению деления в столбик, учить ребенка правильно записывать примеры «уголком». Для начала используйте только примеры на деление без остатка.

Как объяснить ребенку деление в столбик: алгоритм решения

Большие числа сложно делить в уме, проще использовать запись деления столбиком. Чтобы научить ребенка правильно выполнять вычисления, действуйте по алгоритму:

• Определить, где в примере делимое и делитель. Попросите ребенка назвать числа (что на что мы будем делить).

213:3
213 — делимое
3 — делитель

• Записать делимое — «уголок» — делитель.

• Определить, какую часть делимого мы можем использоваться, чтобы разделить на заданное число.

Рассуждаем так: 2 не делится на 3, значит — берем 21.

• Определить, сколько раз делитель «помещается» в выбранной части.

21 разделить на 3 — берем по 7.

• Умножить делитель на выбранное число, результат записать под «уголком».

7 умножить на 3 — получаем 21. Записываем.

• Найти разницу (остаток).

На этом этапе рассуждений научите ребенка проверять себя. Важно, чтобы он понял, что результат вычитания ВСЕГДА должен быть меньше делителя. Если вышло не так, нужно увеличить выбранное число и выполнить действие еще раз.

• Повторить действия, пока в остатке не окажется 0.

Дальше можно взять пример посложнее, чтобы убедиться, что ребенок усвоил правильную запись и алгоритм рассуждений.

Как правильно рассуждать, чтобы научить ребенка 2-3 класса делить столбиком

Как объяснить ребенку деление 204:12=?
1. Записываем столбиком.
204 — делимое, 12 — делитель.

6. Рядом с 8 пишем 4. 84 разделить на 12. На сколько нужно умножить 12, чтобы получить 84?
Сразу сложно сказать, попробуем действовать методом подбора.
Возьмем, например, по 8, но пока не записываем. Считаем устно: 8 умножить на 12 получится 96. А у нас 84! Не подходит.
Пробуем поменьше… Например, возьмем по 6. Проверяем себя устно: 6 умножить на 12 равно 72. 84-72=12. Мы получили такое же число, как наш делитель, а должно быть или ноль, или меньше 12. Значит, оптимальная цифра 7!

7. Записываем 7 под «уголок» и выполняем вычисления. 7 умножить на 12 получим 84.
8. Записываем результат в столбик: 84 минус 84 равно ноль. Ура! Мы решили правильно!

Итак, вы научили ребенка делить столбиком, осталось теперь отработать этот навык, довести его до автоматизма.

Почему детям сложно научиться делить в столбик?

Помните, что проблемы с математикой возникают от неумения быстро делать простые арифметические действия. В начальной школе нужно отработать и довести до автоматизма сложение и вычитание, выучить «от корки до корки» таблицу умножения. Все! Остальное — дело техники, а она нарабатывается с практикой.

Будьте терпеливы, не ленитесь лишний раз объяснить ребенку то, что он не усвоил на уроке, нудно, но дотошно разобраться в алгоритме рассуждений и проговорить каждую промежуточную операцию прежде, чем озвучить готовый ответ. Дайте дополнительные примеры на отработку навыков, поиграйте в математические игры — это даст свои плоды и вы увидите результаты и порадуетесь успехам чада очень скоро. Обязательно покажите, где и как можно применить полученные знания в повседневной жизни.

Уважаемые читатели! Расскажите, как вы учите ваших детей делить в столбик, с какими сложностями приходилось сталкиваться и какими способами вы их преодолели.

Деление столбиком или, правильнее сказать, письменный прием деления уголком, школьники проходят уже в третьем классе начальной школы, но зачастую этой теме уделяется так мало внимания, что к 9-11 классу не все ученики могут им свободно пользоваться.

Деление столбиком на двузначное число проходят в 4 классе, как и деление на трехзначное число, а далее этот прием используется только как вспомогательный при решении каких-либо уравнений или нахождении значения выражения.

Очевидно, что уделив делению столбиком больше внимания, чем заложено в школьной программе, ребенок облегчит себе выполнение заданий по математике вплоть до 11 класса. А для этого нужно немногое — понять тему и позаниматься, порешать, держа алгоритм в голове, довести навык вычисления до автоматизма.

Для начала повторим кратко, как делить столбиком на однозначное число:

А что если деление с остатком? Смотрим в следующем видео:

Алгоритм деления столбиком на двузначное число

Как и при делении на однозначное число, будем последовательно переходить от деления более крупных счетных единиц к делению более мелких единиц.

1. Находим первое неполное делимое. Это число, которое делится на делитель с получением числа больше или равного 1. Это значит, что первое неполное делимое всегда больше делителя. При делении на двузначное число в первом неполном делимом минимум 2 знака.

Примеры 768:24. Первое неполное делимое 76
265:53 26 меньше 53, значит не подходит. Нужно добавить следующую цифру (5). Первое неполное делимое 265.

2. Определяем количество цифр в частном. Для определения числа цифр в частном следует помнить, что неполному делимому соответствует одна цифра частного, а всем остальным цифрам делимого — еще по одной цифре частного.

Примеры 768:24. Первое неполное делимое 76. Ему соответствует 1 цифра частного. После первого неполного делителя есть еще одна цифра. Значит в частном будет всего 2 цифры.
265:53. Первое неполное делимое 265. Оно даст 1 цифру частного. Больше в делимом цифр нет. Значит в частном будет всего 1 цифра.
15344:56. Первое неполное делимое 153, а после него еще 2 цифры. Значит в частном будет всего 3 цифры.

3. Находим цифры в каждом разряде частного. Сначала найдем первую цифру частного. Подбираем такое целое число, чтобы при умножении его на наш делитель получилось число, максимально приближенное к первому неполному делимому. Цифру частного записываем под уголок, а значение произведения вычитаем столбиком из неполного делителя. Записываем остаток. Проверяем, что он меньше делителя.

Затем находим вторую цифру частного. Переписываем в строку с остатком цифру, следующую за первым неполным делителем в делимом. Полученное неполное делимое снова делим на делитель и так находим каждое последующее число частного, пока не закончатся цифры делителя.

4. Находим остаток (если есть).

Если цифры частного закончились и получился остаток 0, то деление выполнено без остатка. В ином случае значение частного записывается с остатком.

Так же выполняется деление на любое многозначное число (трехзначное, четырехзначное и т. д.)

Разбор примеров на деление столбиком на двузначное число

Сначала рассмотрим простые случаи деления, когда в частном получается однозначное число.

— Найдем значение частного чисел 265 и 53.

Первое неполное делимое 265. Больше в делимом цифр нет. Значит в частном будет однозначное число.

Чтобы было легче подобрать цифру частного, разделим 265 не на 53, а на близкое круглое число 50. Для этого 265 разделим на 10, будет 26 (остаток 5). И 26 разделим на 5, будет 5 (остаток 1). Цифру 5 нельзя сразу записывать в частном, поскольку это пробная цифра. Сначала нужно проверить, подойдет ли она. Умножим 53*5=265. Мы видим, что цифра 5 подошла. И теперь можем ее записать в частном под уголок. 265-265=0. Деление выполнено без остатка.

Значение частного чисел 265 и 53 равно 5.

Иногда при делении пробная цифра частного не подходит, и тогда ее нужно менять.

— Найдем значение частного чисел 184 и 23.

В частном будет однозначное число.

Чтобы было легче подобрать цифру частного, разделим 184 не на 23, а на 20. Для этого разделим 184 на 10, будет 18 (остаток 4). И 18 разделим на 2, будет 9. 9 – это пробная цифра, мы ее сразу писать в частном не будем, а проверим, подойдет ли она. Умножим 23*9=207. 207 больше, чем 184. Мы видим, что цифра 9 не подходит. В частном будет меньше 9. Попробуем, подойдет ли цифра 8. Умножим 23*8=184. Мы видим, что цифра 8 подходит. Можем ее записать в частном. 184-184=0. Деление выполнено без остатка.

Значение частного чисел 184 и 23 равно 8.

Рассмотрим более сложные случаи деления.

— Найдем значение частного чисел 768 и 24.

Первое неполное делимое – 76 десятков. Значит, в частном будут 2 цифры.

Определим первую цифру частного. Разделим 76 на 24. Чтобы легче было подобрать цифру частного, разделим 76 не на 24, а на 20. То есть нужно 76 разделить на 10, будет 7 (остаток 6). И 7 разделим на 2, получится 3 (остаток 1). 3 – это пробная цифра частного. Сначала проверим, подойдет ли она. Умножим 24*3=72 . 76-72=4. Остаток меньше делителя. Значит, цифра 3 подошла и теперь мы ее можем записать на месте десятков частного. 72 пишем под первым неполным делимым, между ними ставим знак минус, под чертой записываем остаток.

Продолжим деление. Перепишем в строку с остатком цифру 8, следующую за первым неполным делимым. Получим следующее неполное делимое – 48 единиц. Разделим 48 на 24. Чтобы было легче подобрать цифру частного, разделим 48 не на 24, а на 20. То есть разделим 48 на 10, будет 4 (остаток 8). И 4 разделим на 2, будет 2. Это пробная цифра частного. Мы должны сначала проверить, подойдет ли она. Умножим 24*2=48. Мы видим, что цифра 2 подошла и, значит, можем ее записать на месте единиц частного. 48-48=0, деление выполнено без остатка.

Значение частного чисел 768 и 24 равно 32.

— Найдем значение частного чисел 15344 и 56.

Первое неполное делимое – 153 сотни, значит, в частном будут три цифры.

Определим первую цифру частного. Разделим 153 на 56. Чтобы легче было подобрать цифру частного, разделим 153 не на 56, а на 50. Для этого разделим 153 на 10, будет 15 (остаток 3). И 15 разделим на 5, будет 3. 3 – это пробная цифра частного. Помните: ее нельзя сразу записывать в частном, а нужно сначала проверить, подойдет ли она. Умножим 56*3=168. 168 больше, чем 153. Значит, в частном будет меньше, чем 3. Проверим, подойдет ли цифра 2. Умножим 56*2=112. 153-112=41. Остаток меньше делителя, значит, цифра 2 подходит, ее можно записать на месте сотен в частном.

Образуем следующее неполное делимое. 153-112=41. Переписываем в ту же строку цифру 4, следующую за первым неполным делимым. Получаем второе неполное делимое 414 десятков. Разделим 414 на 56. Чтобы удобнее было подобрать цифру частного, разделим 414 не на 56, а на 50. 414:10=41(ост.4). 41:5=8(ост.1). Помните: 8 – это пробная цифра. Проверим ее. 56*8=448. 448 больше, чем 414, значит, в частном будет меньше, чем 8. Проверим, подойдет ли цифра 7. Умножим 56 на 7, получится 392. 414-392=22. Остаток меньше делителя. Значит, цифра подошла и в частном на месте десятков можем записать 7.

Пишем в строку с новым остатком 4 единицы. Значит следующее неполное делимое – 224 единицы. Продолжим деление. Разделим 224 на 56. Чтобы легче было подобрать цифру частного, разделим 224 на 50. То есть сначала на 10, будет 22 (остаток 4). И 22 разделим на 5, будет 4 (остаток 2). 4 – это пробная цифра, проверим ее, подойдет ли она. 56*4=224. И мы видим, что цифра подошла. Запишем 4 на месте единиц в частном. 224-224=0, деление выполнено без остатка.

Значение частного чисел 15344 и 56 равно 274.

Пример на деление с остатком

Чтобы провести аналогию, возьмем пример, похожий на пример выше, и отличающийся лишь последней цифрой

— Найдем значение частного чисел 15345:56

Делим сначала точно так же, как в примере 15344:56, пока не дойдем до последнего неполного делимого 225. Разделим 225 на 56. Чтобы легче было подобрать цифру частного, разделим 225 на 50. То есть сначала на 10, будет 22 (остаток 5). И 22 разделим на 5, будет 4 (остаток 2). 4 – это пробная цифра, проверим ее, подойдет ли она. 56*4=224. И мы видим, что цифра подошла. Запишем 4 на месте единиц в частном. 225-224=1, деление выполнено с остатком.

Значение частного чисел 15345 и 56 равно 274 (остаток 1).

Деление с нулем в частном

Иногда в частном одним из чисел получается 0, и дети зачастую пропускают его, отсюда неправильное решение. Разберем, откуда может взяться 0 и как его не забыть.

— Найдем значение частного чисел 2870:14

Первое неполное делимое — 28 сотен. Значит в частном будет 3 цифры. Ставим под уголок три точки. Это важный момент. Если ребенок потеряет ноль, останется лишняя точка, которая заставит задуматься, что где-то упущена цифра.

Определим первую цифру частного. Разделим 28 на 14. Подбором получается 2. Проверим, подойдет ли цифра 2. Умножим 14*2=28. Цифра 2 подходит, ее можно записать на месте сотен в частном. 28-28=0.

Получился нулевой остаток. Мы обозначили его розовым для наглядности, но записывать его не нужно. Переписываем в строку с остатком цифру 7 из делимого. Но 7 не делится на 14 с получением целого числа, поэтому записываем на месте десятков в частном 0.

Теперь переписываем в ту же строку последнюю цифру делимого (количество единиц).

70:14=5 Записываем вместо последней точки в частном цифру 5. 70-70=0. Остатка нет.

Значение частного чисел 2870 и 14 равно 205.

Деление нужно непременно проверить умножением.

Примеры на деление для самопроверки

Найдите первое неполное делимое и определите количество цифр в частном.

Привычная школьная математика может быть очень практичной в повседневной жизни, ведь дает возможность проводить серьезные арифметические исчисления в уме. Мы расскажем Вам несколько приемов, помогающих умножать двузначные числа быстро без использования калькулятора или листка бумаги и ручки.

Как умножать двузначные числа в уме?

Может показаться, что умножать в уме такие большие числа невозможно, но это не так. Есть способ, который будет понятен даже школьникам.

Так, например, возьмем числа 96 и 97.

Подсчитайте разницу этих чисел относительно 100. В нашем случае это 3 и 4. Их произведение будет второй частью решения умножения чисел 97 и 96 (3*4=12).

Первой частью будет разница первого числа и разницы 100 и второго числа. В нашем примере это: 97-4=93.

Таким образом, получаем 97*96 = 93 12

Как быстро умножать в уме?

Суть этого простого и привычного способа состоит в разложении множителей на единицы и десятки. Затем следует их поочередное перемножение. Сделать это просто, в уме придется держать не больше 3 чисел одновременно.

Вот стандартный способ такого умножения:

Умножение на однозначное число

§ 1. Чтобы устно умножить число на
 однозначный множитель (например, 27 × 8),
 выполняют действие, начиная с умножения
 не единиц, как при письменном умножении, а иначе: умножают сначала десятки множимого (20 × 8 = 160), затем единицы
 (7 × 8 = 56) и оба результата складывают.

Еще примеры:

34 × 7 = 30 × 7 + 4 × 7 = 210 + 28 = 238

47 × 6 = 40 × 6 + 7 × 6 = 240 + 42 = 282


§ 2. Полезно знать на память таблицу
 умножения до 19 × 9:

	2	3	4	5	6	7	8	9
11	22	33	44	55	66	77	88	99
12	24	36	48	60	72	84	96	108
13	26	39	52	65	78	91	104	117
14	28	42	56	70	84	98	112	126
15	30	45	60	75	90	105	120	135
16	32	48	64	80	96	112	128	144
17	34	51	68	85	102	119	136	153
18	36	54	72	90	108	126	144	162
19	38	57	76	95	114	133	152	171

Зная эту таблицу, можно умножение
 например, 147 × 8 выполнить в уме так:


147 × 8 = 140 × 8 + 7 × 8 = 1120 + 56 = 1176


§ 3. Когда одно из умножаемых чисел
 разлагается на однозначные множители,
 удобно бывает последовательно умножать
 на эти множители. Например:

225 × 6 = 225 × 2 × 3 = 450 × 3 = 1350Умножение на двузначное число

§ 4. Умножение на двузначное число
 стараются облегчить для устного выполнения, приводя это действие к более привычному умножению на однозначное число.

Когда множимое однозначное, мысленно переставляют множители и выполняют
 действие, как указано в § 1. Например:

6 × 28 = 28 × 6 = 120 + 48 = 168

§ 5. Если оба множителя двузначные,
 мысленно разбивают один из них на десятки и единицы. Например:

29 × 12 = 29 × 10 + 29 × 2 = 290 + 58 = 34841 × 16 = 41 × 10 + 41 × 6 = 410 + 246 = 656(или 41 × 16 = 16 × 41 = 16 × 40 + 16 =
 640 + 16 = 656)

Разбивать на десятки и единицы выгоднее тот множитель, в котором они выражены меньшими числами.

§ 6. Если множимое или множитель
 легко разложить в уме на однозначные
 числа (напр., 14 = 2 × 7), то пользуются
 этим, чтобы уменьшить один из множителей, увеличив другой во столько же раз
 (ср. § 3). Например:

45 × 14 = 90 × 7 = 630Умножение на 4 и на 8

§ 7. Чтобы устно умножить число на
 4, его дважды удваивают. Например:

112 × 4 = 224 × 2 = 448
335 × 4 = 670 × 2 = 1340

§ 8. Чтобы устно умножить число на
 8, его трижды удваивают. Например:

217 × 8 = 434 × 4 = 868 × 2 = 1736

(Еще удобнее: 217 × 8 = 200 × 8 +
 17 × 8 = 1600 × 13 = 1736).

Деление на 4 и на 8

§ 9. Чтобы устно разделить число на
 4, его дважды делят пополам. Например:

76 : 4 = 38 : 2 = 19
236 : 4 = 118 : 2 = 59

§ 10. Чтобы устно разделить число на
 8, его трижды делят пополам. Например:

464 : 8 = 232 : 4 = 116 : 2 = 58
516 : 8 = 258 : 4 = 129 : 2 = 641/2Умножение на 5 и на 25

§ 11. Чтобы устно умножить число на
 5, умножают его на 102, т. е. приписывают к числу ноль и делят пополам. Например:

74 × 5 = 740 : 2 = 370
243 × 5 = 2430 : 2 = 1215

При умножении на 5 числа четного
 удобнее сначала делить пополам и к полученному приписать ноль. Например:

74 × 5 = 742 × 10 = 370

§ 12. Чтобы устно умножить число на 25, умножают его на 1004, т. е. — если число кратно 4-х — делят на 4 и к частному приписывают два ноля. Например:

72 × 25 = 724 × 100 = 1800

Если же число при делении на 4 дает
 остаток, то

при	приписывают
остатке:	к частному
1	25
2	50
3	75

Основание приема ясно из того, что


100 : 4 = 25; 200 : 4 = 50; 300 : 4 = 75Умножение на 11/2, на 11/4, на 21/2, на 3/4

§ 13. Чтобы устно умножить число на
 11/2 прибавляют к множимому его половину. Например:

34 × 11/2 = 34 + 17 = 51
 23 × 11/2 = 23 + 111/2 = 341/2 (или 34,5)

§ 14. Чтобы устно умножить число на
 11/4, прибавляют к множимому его четверть. Например:

48 × 11/4 = 48 + 12 = 60
 58 × 11/4 = 58 + 141/2 = 721/2 или (72,5)

§ 15. Чтобы устно умножить число на
 21/2, к удвоенному числу прибавляют половину множимого. Например:

18 × 21/2 = 36 + 9 = 45
 39 × 21/2 = 78 + 191/2 = 971/2 (или 97,5)


Другой способ состоит в умножении
 на 5 и делении пополам:

18 × 21/2 = 90 : 2 = 45

§ 16. Чтобы устно умножить число на
 3/4 (т. е. чтобы найти 3/4 этого числа),
 умножают число на 11/2 и делят пополам.
 Например:

30 × 3/4 = 30 + 152 = 221/2 (или 22,5)Видоизменение способа состоит в том, что
 от множимого отнимают его четверть или
 к половине множимого прибавляют половину этой половины.Умножение на 15, на 125, на 75

§ 17. Умножение на 15 заменяют умножением на 10 и на 11/2 (потому что
 10 × 11/2 = 15). Например:

18 × 15 = 18 × 11/2 × 10 = 270
45 × 15 = 450 + 225 = 675

§ 18. Умножение на 125 заменяют умножением на 100 и на 11/4 (потому что
 100 × 11/4 = 125). Например:

26 × 125 = 26 × 100 × 11/4 = 2600 + 650 = 325047 × 125 = 47 × 100 × 11/4 = 4700 + 47004 = 4700 + 1175 = 5875

§ 19. Умножение на 75 заменяют умножением на 100 и на 3/4 (потому что
 100 × 3/4 = 75). Например:

18 × 75 = 18 × 100 × 3/4 = 1800 × 3/4 = 1800 + 9002 = 1350

‎Примечание. Некоторые из
 приведенных примеров удобно выполняются также приемом § 6:

18 × 15 = 90 × 3 = 270
26 × 125 = 130 × 25 = 3250Умножение на 9 и на 11

§ 20. Чтобы устно умножить число на
 9, приписывают к нему ноль и отнимают
 множимое. Например:

62 × 9 = 620 — 62 = 600 — 42 = 558
73 × 9 = 730 — 73 = 700 — 43 = 657

§ 21. Чтобы устно умножить число на
 11, приписывают к нему ноль и прибавляют множимое. Например:

87 × 11 = 870 + 87 = 957Деление на 5, на 11/2, на 15

§ 22. Чтобы устно разделить число на
 5, отделяют запятой в удвоенном числе последнюю цифру. Например:

68 : 5 = 13610 = 13,6
237 : 5 = 47410 = 47,4

§ 23. Чтобы устно разделить число на
 11/2, делят удвоенное число на 3. Например:


36 : 11/2 = 72 : 3 = 24
53 : 11/2 = 106 : 3 = 351/3

§ 24. Чтобы устно разделить число на
 15, делят удвоенное число на 30. Например:


240 : 15 = 480 : 30 = 48 : 3 = 16
462 : 15 = 924 : 30 = 302430 = 304/5 = 30,8
(или 924 : 30 = 308 : 10 = 30,8)Возвышение в квадрат

§ 25. Чтобы возвысить в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например
 85), умножают число десятков (8) на него
 же плюс единица (8 × 9 = 72) и приписывают 25 (в нашем примере получается 7225).
 Еще примеры:

252; 2 × 3 = 6; 625

452; 4 × 5 = 20; 2025

1452; 14 × 15 = 210; 21025


Прием этот вытекает из формулы


(10x + 5)2 = 100×2 + 100x + 25 = 100x (x + 1) + 25


§ 26. Сейчас указанный прием приложим и к десятичным дробям, оканчивающимся цифрой 5:

8,52 = 72,25 14,52 = 210,25

 0,352 = 0,1225, и т. п.(81/2)2 = 721/4 (141/2)2 = 2101/4 и т. п.

§ 28. При устном возвышении в квадрат часто удобно бывает пользоваться формулой (а ± b)2 = а2 + b2 ± 2аb. Например:


412 = 402 + 1 + 2 × 40 = 1601 + 80 = 1681
692 = 702 + 1 — 2 × 70 = 4901 — 140 = 4761
362 = (35 + 1)2 = 1225 + 1 + 2 × 35 = 1296
Прием удобен для чисел, оканчивающихся на 1, 4, 6 и 9.
Вычисления по формуле(а + b) (а — b) = а2 — b2

§ 29. Пусть требуется выполнить устно умножение

52 × 48

‎Мысленно представляем эти множители в
 виде (50 + 2) × (50 — 2) и применяем приведенную в заголовке
 формулу:

(50 + 2) × (50 — 2) = 502 — 22 = 2496

‎Подобным же образом поступают во всех
 вообще случаях, когда один множитель
 удобно представить в виде суммы двух
 чисел, другой — в виде разности тех же
 чисел:

69 × 71 = (70 — 1) × (70 + 1) = 4899
33 × 27 = (30 + 3) × (30 — 3) = 891
53 × 57 = (55 — 2) × (55 + 2) = 3021
84 × 86 = (85 — 1) × (85 + 1) = 7224

§ 30. Указанным сейчас приемом удобно
 пользоваться и для вычислений следующего
 рода:

71/2 × 61/2 = (7 + 1/2) × (7 — 1/2) = 483/4113/4 × 121/4 = (12 — 1/4) × (12 + 1/4) = 1431516Полезно запомнить:


37 × 3 = 111

Запомнив это, легко выполнять устно
 умножение числа 37 на 6, 9, 12 и т. п.

37 × 6 = 37 × 3 × 2 = 222
37 × 9 = 37 × 3 × 3 = 333
37 × 12 = 37 × 3 × 4 = 444
37 × 15 = 37 × 3 × 5 = 555 и т. д.

7 × 11 × 13 = 1001

‎Запомнив это, легко выполнять устно умножения следующего рода:

77 × 13 = 1001	91 × 11 = 1001
77 × 26 = 2002	91 × 22 = 2002
77 × 39 = 3003	91 × 33 = 3003
и т. д.	и т. д.

143 × 7 = 1001
143 × 14 = 2002
143 × 21 = 3003
и т. д.В нашей книжечке указаны только
 простейшие, наиболее удобоприменимые
 способы устного выполнения действий
 умножения, деления и возвышения в квадрат. Практикуясь в сознательном пользовании ими, вдумчивый читатель выработает для себя ряд еще и других приемов,
 облегчающих вычислительную работу.
УКАЗАТЕЛЬУмножение

на 0003/4  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 16—00

«на 0011/4  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 14—00

«на 0011/2  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 13—00

«на 0021/2  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 15—00

«на 004  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§  7—00

«на 005  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 11—00

«на 008  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§  8—00

«на 009  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 20—00

«на 011  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 21—00

«на 015  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 17—00

«на 025  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 12—00

«на 075  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 19—00

«на 125  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 18—00

Деление

на 0011/2  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 23—00

«на 004  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§  9—00

«на 005  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 22—00