Как найти площадь параллелограмма?

Как найти площадь параллелограмма?

Доказательство теоремы о площади треугольника через синус координатным методом

Доказательство:

Любой треугольник АВС имеет не менее двух острых углов, так как сумма углов треугольника равна 180 градусов. Пусть острыми являются угол и угол . Тогда высота АН= находится внутри треугольника АВС, потому что иначе сумма углов в треугольнике (рис. 2) превышала бы 180 градусов (угол прямой, так как – высота; а угол при вершине В тупой, так как угол (по условию).

Рис. 2. Иллюстрация к теореме

Получили два прямоугольных треугольника общим катетом АН=. Для нахождения данного катета мы используем свойство сторон и углов прямоугольного треугольника: гипотенузу умножаем на синус противолежащего угла:

Подставим данное значение в формулу площади треугольника:

Получаем:

Мы доказали две формулы из трёх через острые углы . Если угол α острый, доказательство будет аналогичное. Если угол α будет прямым, доказательство очевидное (. При высота С= находится вне треугольника АВС (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к теореме

Рассмотрим треугольник . В нём угол . Чтобы найти катет , нужно гипотенузу умножить на синус противолежащего угла:

Подставляем в формулу для площади треугольника () значение катета :

Мы доказали и третью формулу. Следовательно, доказали теорему.

Также эту теорему можно доказать координатным методом (рис. 4).

Дано: треугольник АВС, ,

Доказать:

Рис. 4. Иллюстрация к теореме

Координаты вершины А определяются через длину АС=b и угол γ. В предыдущих уроках мы выяснили, что координаты точки А будут . А – это высота , то есть ордината точки А.

Подставляем в формулу площади треугольника:

Формула доказана независимо от величины углов треугольника – за начало координат была взята точка С. Остальные 2 формулы получаются аналогично, если за начало координат взять точку А или В.

Полученные формулы можно использовать во многих задачах.


Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *