Как решать дроби

Как решать дроби

Мы делили апельсин. Много нас, а он один

Эта долька для ежа, эта долька для чижа…

А для волка — кожура.

В Школе умных детей Любовь Стрекаловская рассказала, как ввести эту тему и сделать так, чтобы ребенок понял тему и научился решать дроби.

Давайте начнем с самого-самого начала. Представьте себе ребенка, который никогда не видел (а если видел, то не понимает смысла) записи дроби. Он не знает даже этого слова.

Как объснить ему тему и перейти к более сложной части -действию с дробями и решению задач? Как не отбить желание к этой теме? Как связать ее с жизнью?

В школьной программе объяснить дроби предлагается так:

1 Взять яблоко и предложить съесть его двум детям сразу. Они ответят, что это невозможно. Далее необходимо разрезать фрукт и вновь предложить детям. Каждому достанется по одинаковой половине. Таким образом, половинка яблока является частью от целого яблока. А само яблоко состоит из двух частей.

2 Вводим запись. И показываем, что одна половинка — это часть от целого, или 1/2. Значит дробь — это число, которое является частью предмета, меньше, чем один. Также дробь — это количество частей от какой-то вещи.

Далее детям на дом задается выучить определение, и когда введено понятие, начинается период практики.

Однако, по опросам родителей, эта тема является одной из самых трудных для усвоения детьми. Когда обучение происходит по принципу — вот правило — учи — применяй, эффект намного ниже, чем при подходе, который предлагает Любовь Стрекаловская в Школе умных детей.

Ребенок может знать правило, но не понимать, почему это так работает? Почему так записывается?

А отсюда будут ошибки в сравнении 3/11 и 3/17 частей, ошибки в сравнии 2/5 и 1/5 частей

Согласно методике, представленной в школе умных детей, ребенок подводится к новым знаниям и умениям, но все выводы делает самостоятельно. И основной упор при объяснении дел делается на понимание ребенком смысла той или иной темы.

Как эффективно объяснить ребенку дроби?

Содержание

Шаг первый — Ввести понятие «доли».

Детям показывают апельсин и предлагают разделить его на доли.

Один апельсин — это целый предмет. И состоит он из долей.

Мы делили апельсин. Много нас, а он один

Эта долька для ежа, эта долька для чижа…

А для волка — кожура.

На доли можно поделить многое: арбуз, яблоко, шоколад и даже квартиру (комната, кухня, коридор — все это доли квартиры)

Будет замечательно, если ребенок и вы возьмете и физически разделите шоколадку на доли, апельсинку на доли, мандаринку на доли.

Именно на этом шаге мы обращаем внимание на то, что один апельсин — это целый предмет, и его можно обозначить цифрой 1.

Шоколадка — целый предмет, или 1 шоколадка.

Вторым шагом необходимо ввести понятие «дробь».

Ведь мы шоколадку «разделили» или «раздробили» на части! Апельсин разделили или «раздробили» на доли!

Хорошим подспорьем являются детали ЛЕГО, из которых можно собрать целый прямоугольник и «раздробить» его на части.

На этом шаге можно нарисовать прямоугольник, разделить его на 4 равные части, например, и попросить ребенка закрасить (или отделить) одну часть, две части.

Нарисовать квадрат, раздробить его на 4 части. И попросить закрасить 2 части.

Шаг три — научить ребенка записывать часть

Передаем инициативу думать и делать выводы ребенку и задаем ему вопрос.

— Кто догадается, сколько всего частей в этом предмете?

— На сколько частей мы его раздробли? Разделили?

На четыре!

Вспоминаем, что деление (при делении в столбик, записывается чертой)

Так же и в дробях. Черта обозначает деление! На сколько частей мы разделили данный прямоугольник?

Так и напишем, делили на 4

А теперь сколько частей мы взяли? Закрасили?

А давай возьмем две части? Как закрасим? Как напишем?

Далее необходимо разделить прямоугольник на другое количество частей, и предожить взять две части. Спросите ребенка, как это показать?

Как записать, что взяли 2 части из 5?

Вспоминаем, что надо поставить черту (разделить), на 5 частей. И взять 2 части

Шаг 4 Переходим к записи целой части через дробь

Для этого шага пригодится шоколадка.

Можно спросить, сколько шоколадок? Одна.

— На сколько долек мы раздробили шоколадку? — На 8 долек.

— Как записать шоколадку, но с помощью дроби? На сколько разделили?

— На 8 частей.

— А в целой сколько частей?

8 частей или 8/8 целая шоколадка.

Далее возвращаемся и записываем целым предметом другие разделенные до этого предметы.

Шаг 5. Практика

Отломите три кусочка, дайте ребенку. Сколько дали? 3. От скольки? от 8!

Запишем полученную дробь 3/8!

Детали лего, полоски, прямоугольники, шоколад, конфеты, жвачки с дольками и т.п

В ход идет любой подручный материал.

Но одно условие — дробить надо на равные части.

Дети очень любят играть с дольками из пачки жвачки.

10/10 — это целая упаковка жвачки

2/10 — как в рекламе

6/10 — 6 долек из пачки жвачки

Шаг 6. Разбираемся в терминологии

И снова задаем ребенку вопросы и помогаем найти ответы.

— В числе 3/8 что обозначает число 8?

— На сколько поделили!

— Что означает число 3?

— Сколько взяли!

— Правильно, число долек, которое взяли. Его еще называют числитель.

Шаг 7. Задачки с подвохом

Предложите ребенку две дроби:

И поставить знак > в ту сторону, какая дробь больше

Для выполнения задания лучше взять шоколадку, в которой есть 20 долек.

И взять 2 дольки (приложить к дроби 2/20) и 4 дольки (приложить к дроби 4/20). Спросить, где больше. Глядя куда ворона откроет рот?

Техника ворона, благодаря которой детям можно объяснить тему сравнения чисел представлена в видео ниже:

Когда ребенок справится с этим заданием и подобными, усложняем задачу.

Пишем другой пример:

Вспоминаем шоколадку.

Взяли и там и там по две части. Но в первом случае, раздробили шоколадку на 20 долек, а во втором — эту же шоколадку, на 10 долек.

Конечно, лучше всего проделать это на практике.

Подобные сравнения — самая сложная тема для детей на этапе знакомства с темой дроби. Им кажется, что если число 20 больше, то и дробь тоже.

И именно здесь скрывается подводный булыжник.

Попробуйте и практикуйте с шоколадкой такие примеры.

Ребенок, при соблюдении последовательности шагов при объяснении темы, а так же, если вы не будете давать готовые решения и ответы, схватит тему и поймет ее.

А именно это является самым ценным.

Такой подход называется — проблемным обучением, или развитием в ребенке критического мышления. Когда мы ребенку не даем правило или ответ, но помогаем вывести его самому.

Ведь ребенок сам назвал, что шоколадку «раздробили», а значит узнал слово «дробь».

Сам вспомнил, как записывать деление чертой.

Сам ответил, что в примере 3/8, тройка — это число долек, которые «Взяли», числитель

Сам понял, что 8 — это на сколько поделили.

Практика в сочетании с правильной методикой обучения творит чудеса!

В школе умных детей вы найдете простые и понятные видео-ответы на все темы, получите уникальный опыт учителя и пошаговую инструкцию, как и что объяснить ребенку.

Чтобы дети, которые не понимают ту или иную тему или которым не повезло с учителем, имели возможность полюбить обучение, учиться у лучших учителей (в том числе по английскому у носителей языка)

Чтобы родители, которые совсем не педагоги, и не знают методик преподавания, имели инструмент, позволяющий легко и просто учить ребенка на семейном обучении или стать ребенку грамотным помощником дома, не тратя бюджет семьи на репетиторов.

Школа умных детей — это инвестиция, которая окупится уже в первые месяцы обучения ребенка.

Что вы получите?

Уроки по русскому и математике на 4-6 минут, это объяснение для родителей, как объяснить ребенку ту или иную тему, с какими сложностями можно столкнуться. Но многие наши родитетели напрямую включают уроки деткам (3-4 класс смело), а в 1-2 классе вместе смотрят и потом выполняют задания.

Уроки по английскому языку — это напрямую уроки для детей с отдельными поясняющими уроками и материалами для родителей.

Так же в школе открыта база знаний с техниками эффективного обучения: как учить стихотворения, определения, пересказывать текст, повысить скорость чтения и другие инструменты

И многое, много другое.

Сейчас в школе около 500 уроков на все сферы школьной жизни.

Доступ октрывается ко всем урокам начальных классов (1-4 классы) до мая 2019 года (1.5 учебных года вместо 1) при оплате в ноябре-декабре 2017 года

Получить объяснение всех тем начальной школы простым и эффективным языком

Получить объяснение всех тем начальной школы простым и эффективным языком

Наша система позволит вам отыскать самую короткую дорогу на пути к воспитанию умного, счастливого, успешного, талантливого ребенка, верящего в себя.

Вы получите четкую систему действий, которая заиграет ярко, живо и с любовью.

Станьте участником Школы умных детей уже сегодня и получите эффективную систему обучения ребенка.

Стать участником школы умных детей

Онлайн калькулятор дробей позволяет производить простейшие арифметические операции с дробями: сложение дробей, вычитание дробей, умножение дробей, деление дробей. Чтобы произвести вычисления, заполните поля соответствующие числителям и знаменателям двух дробей. Если дробь имеет вид «смешанной дроби», то также заполните поле, соответствующее целой части дроби. Если у дроби нет целой части, т.е. дробь имеет вид «простой дроби», то оставьте данное поле пустым. Затем нажмите кнопку «Вычислить».

Калькулятор для расчета дробей Вид дроби: простые дроби смешанные дроби

Дробь 1 Дробь 2 Результат
=
+/− +/−

Вычислить ✖ Очистить поля с данными
Решение:

Дробью в математике называется число, представляющее часть единицы или несколько её частей. Обыкновенная дробь записывается в виде двух чисел, разделенных обычно горизонтальной чертой, обозначающей знак деления. Число, располагающееся над чертой, называется числителем. Число, располагающееся под чертой, называется знаменателем. Знаменатель дроби показывает количество равных частей, на которое разделено целое, а числитель дроби — количество взятых этих частей целого.

Дроби бывают правильными и неправильными. Правильной называется дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Если у дроби числитель больше знаменателя, то такая дробь называется неправильной. Смешанной называется дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, и понимается как сумма этого числа и дробной части. Соответственно, дробь, не имеющая целую часть,называется простой дробью. Любая смешанная дробь может быть преобразована в неправильную простую дробь (см. пример ниже).

В предыдущих уроках было сказано, что дробь, состоящая из целой и дробной части, называется смешанной.

Все дроби, имеющие целую и дробную часть, носят одно общее название — смешанные числа.

Смешанные числа так же, как и обыкновенные дроби можно складывать, вычитать, умножать и делить. В данном уроке мы рассмотрим каждую из этих операций по отдельности.

Сложение целого числа и правильной дроби

Встречаются задачи, в которых требуется сложить целое число и правильную дробь. Например, сложить число 2 и дробь . Чтобы решить этот пример, нужно число 2 представить в виде дроби . Затем сложить дроби с разными знаменателями:

А теперь внимательно посмотрим на этот пример. Смотрим на его начало и на его конец. Начало у него выглядит так: , а конец так: . Различие в том, что в первом случае число 2 и дробь соединяются знаком сложения, а во втором случае они записаны вместе. На самом деле это одно и то же. Дело в том, что это свёрнутая форма записи смешанного числа, а — развёрнутая.

Когда перед нами смешанное число вида , мы должны понимать, что знак сложения опущен.

Какой можно сделать вывод? Если потребуется сложить целое число и правильную дробь, можно опустить плюс и записать целое число и дробь вместе.

Значит значение выражения равно

Если к двум целым пиццам прибавить половину пиццы, то получится две целые пиццы и ещё половина пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения

Представим число 3 в виде дроби . Затем сложим дроби с разными знаменателями:

Это первый способ. Второй способ намного проще. Можно поставить знак равенства и записать целую и дробную часть вместе. То есть опустить знак сложения:

Пример 3. Найти значение выражения

Можно записать вместе число 2 и дробь , но этот ответ не будет окончательным, поскольку в дроби можно выделить целую часть.

Поэтому в данном примере сначала нужно выделить целую часть в дроби . Пять вторых это две целых и одна вторая:

Теперь в главном выражении вместо дроби запишем смешанное число

Получили новое выражение . В этом выражении смешанное число запишем в развёрнутом виде:

Применим сочетательный закон сложения. Сложим две двойки, получим 4:

Теперь свернём полученное смешанное число:

Это окончательный ответ. Подробное решение этого примера можно записать следующим образом:

Сложение смешанных чисел

Встречаются задачи, в которых требуется сложить смешанные числа. Например, найти значение выражения . Чтобы решить этот пример, нужно целые и дробные части сложить по отдельности.

Для начала запишем смешанные числа в развёрнутом виде:

Применим сочетательный закон сложения. Сгруппируем целые и дробные части по отдельности:

Вычислим целые части: 2 + 3 = 5. В главном выражении заменяем выражение в скобках (2 + 3) на полученную пятёрку:

Теперь вычислим дробные части. Это сложение дробей с разными знаменателями. Как складывать такие дроби мы уже знаем:

Получили . Теперь в главном выражении заменяем дробные части на полученную дробь

Теперь свернем полученное смешанное число:

Таким образом, значение выражения равно . Попробуем изобразить это решение в виде рисунка. Если к двум целым и половине пиццы прибавить три целые и одну восьмую пиццы, то получится пять целых пицц и ещё пять восьмых пиццы:

Подобные примеры нужно решать быстро, не останавливаясь на подробностях. Находясь в школе, нам пришлось бы записать решение этого примера следующим образом:

Если в будущем увидите такое короткое решение, не пугайтесь. Вы уже понимаете, что откуда взялось.

Пример 2. Найти значение выражения

Запишем смешанные числа в развёрнутом виде:

Сгруппируем целые и дробные части по отдельности:

Вычислим целые части: 5 + 3 = 8. В главном выражении заменяем выражение в скобках (5 + 3) на полученное число 8

Теперь вычислим дробные части:

Получили смешанное число . Теперь в главном выражении заменяем выражение в скобках на полученное смешанное число

Получили выражение . В данном случае число 8 надо прибавить к целой части смешанного числа . Для этого смешанное число можно временно развернуть, чтобы было понятнее, что с чем складывать:

Сложим целые части. Получаем 9

Сворачиваем готовый ответ:

Таким образом, значение выражения равно .

Полное решение этого примера выглядит следующим образом:

Для решения подобных примеров существует универсальное правило. Выглядит оно следующим образом:

Чтобы сложить смешанные числа, надо:

  • привести дробные части этих чисел к общему знаменателю;
  • отдельно выполнить сложение целых и дробных частей.

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть в этой дроби и прибавить ее к полученной целой части.

Применение готовых правил допустимо в том случае, если суть темы полностью понятна. Решение по-шаблону, поглядывая в другие подобные примеры, приводит к ошибкам на обнаружение которых уходит дополнительное время. Поэтому, сначала разумнее понять тему, а затем пользоваться готовым правилом.

Пример 3. Найти значение выражения

Воспользуемся готовым правилом. Приведём дробные части к общему знаменателю, затем по отдельности сложим целые и дробные части:

Вычитание дроби из целого числа

Встречаются задачи, в которых требуется вычесть дробь из целого числа. Например, вычесть из числа 1 дробь . Чтобы решить такой пример, нужно целое число 1 представить в виде дроби , и выполнить вычитание дробей с разными знаменателями:

Если имеется одна целая пицца и мы вычтем из неё половину пиццы, то у нас получится половина пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения .

Представим число 2 в виде дроби , и выполним вычитание дробей с разными знаменателями:

Если имеются две целые пиццы и мы вычтем из низ половину, то останется одна целая и половина пиццы:

Такие примеры можно решать в уме. Достаточно суметь воспроизвести их в своём воображении. К примеру, найдём значение выражения , не приводя на бумаге никаких вычислений.

Представим, что число 3 это три пиццы:

Нужно вычесть из них . Мы помним, что треть выглядит следующим образом:

Теперь представим, во что превратятся три пиццы, если отрезать от них эту треть

Получилось (две целых и две трети пиццы).

Чтобы убедиться в правильности решения, можно найти значение выражения обычным методом, представив число 3 в виде дроби, и выполнив вычитание дробей с разными знаменателями:

Пример 3. Найти значение выражения

Представим число 3 в виде дроби . Затем выполним вычитание дробей с разными знаменателями:

Вычитание смешанного числа из целого числа

Теперь мы готовы к тому, чтобы вычесть смешанное число из целого числа. Найдём значение выражения .

Чтобы решить этот пример, число 5 нужно представить в виде дроби, а смешанное число перевести в неправильную дробь. После перевода смешанного числа в неправильную дробь, получим дробь . Теперь выполним вычитание дробей с разными знаменателями:

Если из пяти целых пицц вычесть одну целую и половину пиццы, то останутся три целые пиццы и половина пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения

Представим 6 в виде дроби , а смешанное число , в виде неправильной дроби. После перевода смешанного числа в неправильную дробь, получим дробь . Теперь выполним вычитание дробей с разными знаменателями:

Примеры на вычитание дроби из числа или вычитание смешанной дроби из числа опять же можно выполнять в уме. Этот процесс легко поддаётся воображению.

К примеру, если нужно быстро найти значение выражения , то вовсе необязательно представлять число 2 в виде дроби и выполнять вычитание дробей с разными знаменателями. Число 2 можно вообразить, как две целые пиццы и далее представить, как от одной из них отрезали две третьих (два куска из трёх)

Тогда от той пиццы, от которой отрезали останется пиццы. Плюс одна из пицц останется нетронутой. Получится одна целая пицца и треть пиццы:

Если на рисунке вы закроете рукой две третьих пиццы (она закрашена), то сразу всё поймёте.

Умножение смешанных чисел

Встречаются задачи, в которых требуется перемножить смешанные числа. Например, перемножить и . Чтобы решить этот пример, нужно перевести эти смешанные числа в неправильные дроби, затем выполнить умножение неправильных дробей:

Попробуем разобраться в этом примере с помощью рисунка. Допустим, имеются одна целая и половина пиццы:

Теперь разберемся со смешанным множителем . Этот множитель означает, что одну целую и половину пиццы нужно взять 2 раза и еще раза.

С множителем 2 всё понятно, он означает что одну целую и половину пиццы нужно взять два раза. Давайте возьмём два раза целую пиццу и половину:

Но ещё осталось взять от изначальной целой пиццы и половины, ведь множителем было смешанное число . Для этого вернёмся к изначальной одной целой и половине пиццы, и разделим их на равные части так, чтобы можно было взять от них ровно половину. А половину мы сможем взять, если разделим целую пиццу на четыре части, а половину на две части:

Мы разделили нашу целую пиццу и половину на равные части, и теперь можем сказать, что является половиной от этих кусков. Половиной от этих кусков является пиццы. Это можно хорошо увидеть, если мы упорядочим наши равные кусочки следующим образом:

А если смотреть на изначальную целую пиццу и половину с точки зрения такого порядка, как на этом рисунке, то половиной от них является пиццы.

Поэтому значение выражения равно

Пример 2. Найти значение выражения

Переводим смешанные числа в неправильные дроби и перемножаем эти неправильные дроби. Если в ответе получится неправильная дробь, выделим в ней целую часть:

Деление целого числа на дробь

Чтобы разделить целое число на дробь, нужно это целое число умножить на дробь, обратную делителю.

Например, разделим число 3 на дробь . Здесь число 3 — это делимое, а дробь — делитель.

Чтобы решить этот пример, нужно число 3 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дробь для дроби это дробь . Поэтому умножаем число 3 на дробь

Допустим, имеются три целые пиццы:

Если мы зададим вопрос «cколько раз (половина пиццы) содержится в трёх пиццах», то ответом будет «шесть раз».

Действительно, если мы разделим каждую пиццу пополам, то у нас получится шесть половинок:

Поэтому значение выражения равно 6.

Пример 2. Найти значение выражения

Чтобы решить этот пример, нужно число 2 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дробь для дроби это дробь

Допустим, имеются две целые пиццы:

Зададим вопрос «Сколько раз пиццы содержится в этих двух пиццах?» Чтобы ответить на этот вопрос, выделим целую часть в дроби . После выделения целой части в этой дроби получим

Теперь поставим вопрос так: «Сколько раз (одна целая и половина пиццы) содержится в двух пиццах?».

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно найти в двух пиццах такое количество пиццы, которое изображено на следующем рисунке:

В двух пиццах одна целая и половина пиццы содержится один раз. Это можно увидеть, если вторую пиццу разделить пополам:

А оставшаяся половина это треть от , которая не вместилась. Третью она является по той причине, что в одной целой и половине пиццы целую часть пиццы можно разделить пополам. Тогда каждый кусок будет третью от этого количества:

Поэтому значение выражения равно

Пример 3. Найти значение выражения

Чтобы решить этот пример, нужно число 5 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дробь для дроби это дробь . Поэтому умножаем число 5 на

Дробь это 2 целых и . Проще говоря, две целые и четверть пиццы:

А выражение определяет сколько раз содержится в пяти целых пиццах. Ответом было смешанное число .

То есть пиццы содержится в пяти целых пиццах раза.

Давайте нащупаем в пяти пиццах два раза по

Белым цветом осталось не выделено две четверти. Эти две четверти представляют собой от , которые не вместились. Двумя девятыми они являются по той причине, что в пиццы каждую целую пиццу можно разделить на четыре части. Тогда каждый кусок будет девятой частью от этого количества, а два куска соответственно двумя из девяти:

Поэтому значение выражения равно

Деление целого числа на смешанное число

Встречаются задачи, в которых требуется разделить целое число на смешанное число. Например, разделим 2 на .

Чтобы решить этот пример, нужно делитель перевести в неправильную дробь. Затем умножить число 2 на дробь, обратную делителю.

Переведём делитель в неправильную дробь, получим . Затем умножим 2 на дробь, обратную дроби . Обратная для дроби это дробь

Допустим, имеются две целые пиццы:

Зададим вопрос «Сколько раз (одна целая и половина пиццы) содержится в двух целых пиццах?». Похожий пример мы решали ранее, когда учились делить целое число на дробь.

В двух пиццах одна целая и половина пиццы содержится один раз. Это можно увидеть, если вторую пиццу разделить пополам:

А оставшаяся половина это треть от , которая не вместилась. Третью она является по той причине, что в одной целой и половине пиццы целую часть пиццы можно разделить пополам. Тогда каждый кусок будет третью от этого количества:

Поэтому значение выражения равно

Пример 2. Найти значение выражения

Переводим делитель в неправильную дробь, получаем . Теперь умножаем число 5 на дробь, обратную дроби . Обратная для дроби это дробь

Сначала мы получили ответ , затем сократили эту дробь на 5, и получили , но этот ответ нас тоже не устроил, поскольку он представлял собой неправильную дробь. Мы выделили в этой неправильной дроби целую часть. В результате получили ответ

Решение задач на дроби

Ольга ТАРАКАНОВА

Статья посвящена решению задач с дробями. Примеры иллюстрируются задачами из учебника: Петерсон Л.Г. «Математика», 3 класс (1-3), часть 2,3, что соответствует 4 классу (1–4). Основное внимание уделяется поиску решения задачи, который проводится либо в виде диалога учителя с учениками, либо в виде самостоятельного рассуждения ученика. Большое внимание уделяется грамотному оформлению решения задачи.

I. Этап мотивации изучения дробей

Первые задачи, которые рассматривает учитель при введении темы, – это исторические задачи, цель которых – заинтересовать учеников изучением нового материала. Полезно рассмотреть две или три задачи, а потом вернуться к ним, когда материал о дробях будет уже как следует изучен.

Задача 1

В произведении знаменитого римского поэта I в. до н.э. Горация так описана беседа учителя с учеником в одной из римских школ этой эпохи.

Учитель: Пусть скажет сын Альбина, сколько останется, если от 5 унций отнять одну унцию?

Ученик: Одна треть.

Учитель: Правильно. Ты сумеешь беречь свое имущество.

Пользуясь схемой, докажи, что ученик был прав. (Ч. 1, № 1, с. 64)*.

Поиск решения. Моделируем ситуацию с помощью отрезков. Давайте одну унцию обозначим отрезком. Тогда 5 унций – отрезок, состоящий из 5 данных отрезков. Отнимем одну унцию, сколько унций останется? А что ответил ученик на вопрос: «Сколько останется, если от 5 унций отнять одну?» Если одну треть составляет 4 унции, сколько унций составляет все имущество?

Схема.

Решение. 1) 5 – 1 = 4 (унц.) – осталось. 2) 4 х 3 = 12 (унц.) – все имущество.

Ответ: 12 унций.

Задача 2

Задача из «Арифметики» известного среднеазиатского математика IX в. Мухаммеда ибн-Мусы ал-Хорезми. «Найди число, зная, что если отнять от него одну треть и одну четверть, то получится 10». (Ч. 2, № 2, с. 64).

Поиск решения. Обозначим число отрезком, длина которого делится на 3 и на 4, это может быть 12, или 24, или 36 и т.д. Возьмем наименьшее из них – 12, нарисуем 12 равных отрезков или мерок. Найдем одну треть отрезка. Найдем одну четверть отрезка. Сколько частей вычли? Сколько частей осталось? 10 приходится на сколько частей? Сколько приходится на одну часть? Число 2 приходится на одну часть, а сколько всего частей? Как найти число?

Решение.

1) 12 : 3 = 4 (ч.) – треть числа.
2)12 : 4 = 3 (ч.) – четверть числа.
3) 3 + 4 = 7 (ч.) – вычли.
4)12 – 7 = 5 (ч.) – осталось.
5) 10 : 5 = 2 – приходится на одну часть.
6) 2 х 12 = 24 – число.

Ответ: Это число 24.

Задача 3

Задача из «Папируса Ахмеса» (Египет, 1850 г. до н.э.).

«Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают:

– Сколько приводишь ты своего многочисленного стада?

Пастух отвечает:

– Я привожу две трети от трети скота. Сочти!»

Используя схему, найди, сколько быков было во всем стаде? (Ч. 2, № 3, с. 64)

Поиск решения.

Обозначим отрезком все стадо. Какой должна быть длина отрезка, чтобы легко делилась на части? Обозначим число быков отрезком, состоящим из 9 частей. Как найти треть от 9? Покажем это на отрезке. Найдем две трети от 3. Нужно 3 разделить на 3, получится 1 часть, и взять две таких части. Сколько быков приходится на 2 части? Сколько быков приходится на одну часть? Если 35 быков в одной части, сколько быков в 9 частях? Сколько быков в стаде?

Схема.

Решение.

1) 9 : 3 = 3 (ч.) – треть стада.
2) 3 : 3 х 2 = 2 (ч.) – две трети от трети.
3) 70 : 2 = 35 (б.) – в I части.
4) 35 х 9 = 315 (б.) – в стаде.

Ответ: 315 быков.

Задача 4

Староиндийская задача (XI в.).

Есть кадамба цветок,
На один лепесток
Пчелок пятая часть опустилась.
Рядом тут же росла
Вся в цвету сименгда,
И на ней третья часть поместилась.
Разность их ты найди,
Ее трижды сложи
И тех пчел на кутай посади.
Только две не нашли
Себе места нигде,
Все летали то взад, то вперед и везде
Ароматом цветов наслаждались.
Назови теперь мне,
Подсчитавши в уме,
Сколько пчелок всего здесь собралось?

(Ч. 2, № 4, с. 64).

Поиск решения.

Обозначим число пчел отрезком. Сколько мерок полезно взять в отрезке? Сколько мерок отрезка составляет пятая часть? Сколько мерок составляет третья часть отрезка? Чему равна разность между третьей и пятой частями? Три раза отложим по 2 мерки, сколько мерок мы отложили? Сколько мерок останется? Сколько пчел приходится на одну мерку? Как найти все количество пчел?

Схема.

Решение.

1) 15 : 5 = 3 (м.) – пятая часть.
2) 15 : 3 = 5 (м.) – третья часть.
3) 5 – 3 = 2 (м.) – разность.
4) 2 х 3 = 6 (м.) – кутай.
5) 15 – 3 – 5 – 6 = 1 (м.) – осталось.
6) 2 х 15 = 30 (пч.) – собралось.

Ответ: 30 пчел.

II. Этап решения задач на доли

Рассмотрим поиск решения, оформление решения простых задач на доли. При составлении схем к первым задачам полезно дроби писать над выделенной частью (схема, 1). В дальнейшем схема будет меняться. Изменения показаны на схеме (3). Сначала меняется место записи дроби и выделяется целая часть в виде единицы (схема, 2). Сами части на отрезке сначала выделяются, затем нет (схема, 3). Если ребенку трудно решить задачу без деления отрезка на части, он может продолжать их выделять.

Задача на нахождение части числа

Яблоко весит 400 г. Сколько весит часть этого яблока. (Ч. 2, № 10, с. 68.).

Схема.

Рассуждение ученика. Обозначим массу яблока отрезком, в котором 5 мерок. Чтобы найти массу одной пятой части, нужно 400 разделить на 5, получится 80. 80 граммов весит часть яблока.

Решение. 400 : 5 = 80 (г).

Ответ: 80 граммов.

Задача на нахождение числа по его части

Сколько стоит книга, если часть ее цены составляет 30 рублей? (Ч. 2, № 2, с. 75).

Схема.

Рассуждения ученика. Известно, что часть цены книги составляет 30 рублей. Чтобы найти цену книги, надо 30 умножить на 6, получится 180. 180 рублей цена книги.

Решение. 30 х 6 = 180 (р.).

Ответ: 180 рублей.

Составная задача с долями

Сделав 16 деталей, рабочий выполнил часть задания. Сколько деталей ему осталось сделать? (Ч. 2, № 5, с. 75).

Схема.

Рассуждения ученика. Одна четвертая часть задания составляет 16 деталей. Чтобы найти объем всего задания, нужно 16 умножить на 4, получится 64. 64 детали составляет все задание. 16 деталей сделано. Чтобы найти, сколько деталей осталось сделать, нужно из 64 вычесть 16, получится 48. 48 деталей осталось сделать.

Решение.

По действиям с пояснениями:

1) 16 х 4 = 64 (д.) – все задание.
2) 64 – 16 = 48 (д.) – осталось сделать.

Или выражением:

16 х 4 – 16 = 48 (д.).

Ответ: 48 деталей.

Задачи на проценты

Задачи на проценты являются частным случаем задач на доли.

Задача на нахождение части числа

Папа получил премию 8000 рублей. 1% премии он потратил на покупку торта. Сколько стоил торт? (Ч. 2, № 8, с. 73).

Схема.

Рассуждения ученика. 1% – это одна сотая часть числа. Чтобы найти одну сотую часть от числа 8000, надо 8000 разделить на 100, получится 80. 80 рублей потратил папа на торт.

Решение. 8000 : 100 = 80 (р.).

Ответ: 80 рублей.

Задача на нахождение числа по его части

Сколько человек было в кинотеатре, если 1% всех зрителей составляет 7 человек? (Ч.2, № 3, с.75).

Схема.

Рассуждения ученика. Целое составляет 100%, его нужно найти. 1% – это одна сотая часть от целого. Одну сотую часть составляет 7 человек, значит, чтобы найти целое, нужно 7 умножить на 100, получится 700. 700 человек было в кинотеатре.

Решение. 7 х 100 = 700 (чел.).

Ответ: 700 человек.

III. Этап решения задач на правильные дроби

Задача на нахождение части числа

Урок длится 45 минут. части урока ученики писали самостоятельную работу. Сколько времени она длилась?

Схема.

Рассуждение ученика.

Найдем сначала часть от 45, для этого 45 разделим на 5, получится 9. Дальше найдем части, для этого 9 умножим на 3, получим 27. 27 минут ученики писали самостоятельную работу.

Решение.

По действиям с пояснениями:

1) 45 : 5 = 9 (мин) – приходится на .
2) 9 х 3 = 27 (мин) – приходится на .
Или выражением: 45 : 5 х 3 = 27 (мин).

Ответ: 27 минут.

Задача на нахождение части числа, выраженной в процентах

На строительство доставили 24 000 кирпичей. Бой составляет 3% всех кирпичей. Сколько кирпичей разбилось по дороге? (Ч. 2, № 5, с. 85).

Схема.

Рассуждения ученика.

24 000 кирпича составляет 100%, 3% – это . Чтобы найти части от числа 24 000, нужно 24 разделить на 100 и умножить на 3, получится 720. 720 кирпичей разбилось.

Решение.

По действиям с пояснениями:

1) 24000 : 100 = 240 (к.) – приходится на 1%.
2) 240 х 3 = 720 (к.) – приходится на 3%.
Или выражением:
24000 : 100 х 3=720 (к.).

Ответ: 720 кирпичей.

Задача на нахождение числа по его части

В аквариум налили 6 л воды, заполнив части его объема. Сколько литров воды вмещает аквариум? (Ч.2, № 5, с. 90).

Схема.

Рассуждения ученика.

Известно, что части объема аквариума составляет 6 л, следовательно, часть составляет в 2 раза меньше, т.е. 6, деленное на 2. Таким образом, часть составляет 3 л. А объем аквариума в 5 раз больше, т.е. 3, умноженное на 5. 15 л вмещает аквариум.

Решение.

По действиям с пояснениями:

1) 6 : 2 = 3 (л) – пятая часть.
2) 3 х 5 = 15 (л) – аквариум.
Или выражением:
6 : 2 х 5 = 15 (л).

Ответ: 15 литров.

Задача на нахождение числа по его части, выраженной в процентах

Бурый медведь весит 320 кг, что составляет 40% массы белого медведя. Какова масса белого медведя? (Ч.2, № 5, с. 88).

Схема.

Рассуждения ученика.

Вариант 1. 320 кг составляют 40%. Чтобы узнать, сколько килограммов приходится на 1%, нужно 320 разделить на 40, получится 8. Чтобы узнать, сколько килограммов приходится на 100%, нужно 8 умножить на 100, получится 800. 800 кг – масса белого медведя.

Вариант 2. Чтобы найти число по его части, выраженной дробью, надо разделить эту часть на числитель и умножить на знаменатель. 40% – это , значит, нужно 320 разделить на 40 и умножить на 100, получится 800. 800 кг – масса белого медведя.

Решение.

По действиям с пояснениями:

1) 320 : 40 = 8 (кг) – приходится на 1%.
2) 8 х 100 = 800 (кг) – приходится на 100%.
Или выражением:
320 : 40 х 100 = 800 (кг).

Ответ: 800 кг.

Задача на нахождение части, которую одно число составляет от другого

От доски длиной 9 м отпилили 4 м. Какую часть доски отпилили? (Ч.3, № 1, с.4).

Схема.

Рассуждения ученика.

Чтобы выразить дробью часть, которую одно число составляет от другого, надо первое число разделить на второе. Аналогично, чтобы выразить, какую часть отпилили от доски, нужно 4 разделить на 9, так как 4 – часть, которую отпилили, а 9 – это целое.

Решение. 4 : 9 = (ч.).

Ответ: части.

IV. Этап решения задач на неправильные дроби

Задачи на нахождение части числа

1. На стройке Дома дружбы Чебурашка должен был за день положить 620 кирпичей, но ему удалось положить части этого числа. На сколько Чебурашка перевыполнил задание?

Схема.

Рассуждения ученика.

Вариант 1. 620 кирпичей приходится на 5 равных частей. Чтобы узнать, сколько кирпичей приходится на 1 часть, нужно 620 разделить на 5, получится 124. Чтобы узнать, сколько кирпичей приходится на 6 таких частей, нужно 124 умножить на 6, получится 744. 744 кирпича приходится на . Чтобы узнать, на сколько Чебурашка перевыполнил план, нужно из 744 вычесть 620, получится 124. На 124 кирпича Чебурашка перевыполнил задание.

Вариант 2. Чтобы найти от 620, нужно 620 разделить на 5 и умножить на 6, получится 744. Чтобы найти, на сколько Чебурашка перевыполнил план, нужно из 744 вычесть 620, получится 124. На 124 кирпича Чебурашка перевыполнил задание.

Решение.

По действиям с пояснениями:

1) 620 : 5 = 124 (к.) – приходится на одну часть.
2) 124 х 6= 744 (к.) – выполнил.
3) 744 – 620 = 124 (к.) – перевыполнил.
Или выражением:
620 : 5 х 6 – 620 = 124 (к.).

Ответ: на 124 кирпича.

2. Буратино решил купить для папы Карло новый дом за 300 сольдо. Но пока он копил деньги, цена дома увеличилась на 20%. Сколько теперь должен заплатить Буратино за этот дом? Сколько денег надо ему дополнительно заработать? (Ч.3, № 3, с. 20).

Схема.

Рассуждения ученика.

Вариант 1. 300 сольдо приходится на 100%, значит, на 1% приходится 300, деленное на 100, т.е. 3. Новая цена дома от старой составляет 120% – это 100 + 20. Чтобы узнать, сколько сольдо приходится на 120%, нужно 3 умножить на 120, получится 360. 360 сольдо стоит дом. Чтобы узнать, сколько дополнительно заработать, нужно из 360 вычесть 300, получится 60. 60 сольдо нужно Буратино дополнительно заработать.

Вариант 2. Чтобы найти 20% от 300, нужно 300 разделить на 100 и умножить на 20, получится 60. 60 сольдо нужно дополнительно заработать Буратино. Теперь дом будет стоить 300 плюс 60, т.е. 360 сольдо.

Решение.

Способ 1.

1) 300 : 100 = 3 (с.) – приходится на 1%.
2) 100 + 120 = 120 % – стоит дом от старой цены.
3) 3 х 120 = 360 (с.) – новая цена дома.
4) 360 – 300 = 60 (с.) – нужно заработать.

Способ 2.

1) 300 : 100 х 20 = 60 (с.) – надо заработать.
2) 300 + 60 = 360 (с.) – новая цена дома.

Ответ: 60 сольдо.

Задача на нахождение числа по его части.

Почтальону Печкину пришло на почту в марте 48 писем. Это составило части писем, пришедших на почту в феврале. Сколько писем пришло в феврале? Сколько писем пришло за эти 2 месяца? (Ч.3, №4, с. 20).

Схема.

Рассуждения ученика.

Вариант 1. 48 писем приходится на , т.е на 8 равных частей. Сначала узнаем, сколько писем приходится на одну часть, для этого 48 разделим на 8, получится 6. Дальше найдем, сколько писем приходится на 7 таких же частей. Для этого 6 умножим на 7, получится 42. Чтобы найти количество писем за 2 месяца, нужно сложить 48 и 42, получится 90. 90 писем пришло за 2 месяца.

Вариант 2. Чтобы найти число по его части, выраженной дробью, надо эту часть разделить на числитель дроби и умножить на знаменатель. Чтобы найти число, зная, что на приходится 48, нужно 48 разделить на 8 и умножить на 7, получится 42. Чтобы найти, сколько писем пришло за 2 месяца, надо сложить 48 и 42, получится 90. 90 писем пришло за 2 месяца.

Решение.

По действиям с пояснениями:

Способ 1.

1) 48 : 8 = 6 (п.) – приходится на 1 часть.
2) 6 х 7 = 42 (п.) – пришло в феврале.
3) 48 + 42 = 90 (п.) – пришло за 2 месяца.

Способ 2.

1) 48 : 8 х 7 = 42 (п.) – пришло в феврале.
2) 48 + 42 = 90 (п.) – пришло за 2 месяца.

Ответ: 42 письма и 90 писем.

Задача на нахождение части, которую одно число составляет от другого

Мачеха, уходя с дочерьми на бал, велела Золушке перебрать 100 кг крупы. Золушка, чтобы угодить мачехе, перебрала 150 кг. Какую часть своего задания выполнила Золушка? Вырази эту часть в процентах. На сколько процентов Золушка перевыполнила задание? (Ч. 3, № 7, с. 21).

Схема.

Рассуждения ученика.

Чтобы найти, какую часть задания Золушка выполнила, нужно ту часть, которую она выполнила, т.е. 150, разделить на само задание, т.е. на 100, получится , или 150%. Так как все задание составля-ет 100%, то она перевыполнила его на 150 – 100 = 50. На 50% Золушка перевыполнила задание.

Решение.

1) 150 : 100 = (ч.) – выполнила.
2) =150%, 150 – 100 = 50% – перевыполнила.

Ответ: части, 150%, 50%.

Надеемся, что рассмотренный материал окажется полезным не только учителям, работающим по авторской методике Л.Г. Петерсон, но и всем, кто интересуется вопросами преподавания математики в начальной школе.

* Здесь и далее по тексту ссылка на учебник Петерсон Л.Г. «Математика», 3 класс.

Задачи на доли и дроби — 4 класс

Задачи на доли и дроби — 4 класс

1 вариант

Задача 1

Руда содержит в себе 3/5 железа. Сколько железа можно получить из 1 т руды?

Задача 2

2/3 отрезка прямой 12 см Чему равен весь отрезок?

Задача 3

При помоле на белую муку отходит в отруби 2/5 веса зерна. Сколько отрубей и сколько белой муки получится при помоле 1 т зерна?

Задача 4

Какой длины потребуется проволока для прямоугольной рамки, если длина рамки 25 см, а ширина 4/5 длины?

Задача 5

Сад прямоугольной формы хотят обнести забором Длина сада 800 м, а ширина составляет 5/8 длины. Какой длины должен быть весь забор?

Задача 6

От проволоки отрезали 3/4 — 6 м. Чему равна длина всей проволоки?

Задача 7

Сколько месяцев содержит 5/6 года?

Задача 8

2/5 кружки сахарного песку весит 100 г. Сколько весит кружка сахарного песку»

Задача 9

В саду было 128 деревьев. 3/8 этих деревьев были яблони 2/4 всех деревьев – груши, а остальные — вишни. Сколько было вишен?

Задача 10

Два поезда идут навстречу друг другу. Один прошел 2/5 всего пути, а другой – половину. Сколько километров им осталось идти до встречи, если между ними было 200 км?

Задача 11

Я задумал число 3/5 равно 15. Какое число я задумал?

Решение с ответами — 1вариант

Задача 1

Руда содержит в себе 3/5 железа. Сколько железа можно получить из 1 т руды?

Решение:

1) 1000 : 5 = 200

2) 200 * 3 = 600

Ответ: 600 кг.

Задача 2

2/3 отрезка прямой 12 см Чему равен весь отрезок?

Решение:

1) 12 : 2 = 6

2) 6 * 3 = 18

Ответ: 18 см.

Задача 3

При помоле на белую муку отходит в отруби 2/5 веса зерна. Сколько отрубей и сколько белой муки получится при помоле 1 т зерна?

Решение:

1) 1000 : 5 = 200

2) 200 * 2 = 400

3) 5 — 2 = 3

4) 200 * 3 = 600

Ответ: 400 кг. муки и 600 кг. отрубей.

Задача 4

Какой длины потребуется проволока для прямоугольной рамки, если длина рамки 25 см, а ширина 4/5 длины?

Решение:

1) 25 : 5 = 5

2) 5 * 4 = 20

3) 25 * 2 = 50

4) 20 * 2 = 40

5) 50 + 40 = 90

Ответ: 90 см.



Задача 5

Сад прямоугольной формы хотят обнести забором Длина сада 800 м, а ширина составляет 5/8 длины. Какой длины должен быть весь забор?

Решение:

1) 800 : 8 = 100

2) 100 * 5 = 500

3) 800 * 2 = 1600

4) 500 * 2 = 1000

5) 1600 + 1000 = 2600

Ответ: 2600 метров.

Задача 6

От проволоки отрезали 3/4 — 6 м. Чему равна длина всей проволоки?

Решение:

1) 6 : 3 = 2

2) 2 * 4 = 8

Ответ: 8 м.

Задача 7

Сколько месяцев содержит 5/6 года?

Решение:

1) 12 : 6 = 2

2) 2 * 5 = 10

Ответ: 10 месяцев.

Задача 8

2/5 кружки сахарного песку весит 100 г. Сколько весит кружка сахарного песку»

Решение:

1) 100 * 5 = 500

2) 500 : 2 = 250

Ответ: 250 грамм.



Задача 9

В саду было 128 деревьев. 3/8 этих деревьев были яблони 2/4 всех деревьев – груши, а остальные — вишни. Сколько было вишен?

Решение:

1) 128 : 8 = 16

2) 16 * 3 = 48 (яблони)

3) 128 : 4 = 32

4) 32 * 4 = 64 (груши)

5) 48 + 64 = 112

5) 128 — 112 = 16

Ответ: 16 вишен.

Задача 10

Два поезда идут навстречу друг другу. Один прошел 2/5 всего пути, а другой – половину. Сколько километров им осталось идти до встречи, если между ними было 200 км?

Решение:

1) 200 : 5 = 40

2) 40 * 2 = 80 (прошел первый поезд)

3) 200 : 2 = 100 (прошел второй поезд)

4) 100 + 80 = 180

5) 200 — 180 = 20

Ответ:

Задача 11

Я задумал число 3/5 равно 15. Какое число я задумал?

Решение:

1) 15 : 3 = 5 (одна пятая)

2) 5 * 5 = 25

Ответ: 25

Задачи на доли и дроби — 4 класс

2 вариант

1.Турист проехал на велосипеде 18 км. Оказалось, что это пятая часть пути. Какой путь должен проехать турист?

2. Треть огорода занято капустой. Какова площадь всего огорода, если капустой занято 25 м2

3. Купили сыр и 4 кг мандаринов. За всё заплатили 450 рублей. Треть этой суммы стоит сыр. Сколько стоит килограмм мандаринов?

4.Хозяйка купила курицу и яблоки по 60 рублей за килограмм. За всё она заплатила 480 рублей. За курицу хозяйка отдала ¼ этой суммы. Сколько килограммов яблок купила хозяйка?

5. В пекарне ежедневно выпекают 4500 булочек. Треть этих булочек отправляют в школы. Остальные распределяют поровну в 25 магазинов. Сколько булочек привозят в каждый магазин?

6. Площадь земной поверхности 510 млн. км2. Считается, что суша занимает треть поверхности Земли. На самом деле площадь суши на больше 20 млн. км2 больше, чем треть. Какая площадь поверхности Земли покрыта водой?

7. Купили карандаши и маркеры. Набор карандашей стоит 60 рублей, что составляет 1/6 стоимости маркеров. Сколько стоит вся покупка?

8. Для оклейки комнаты нужно 8 рулонов. Это составляет четвёртую часть всех купленных обоев. Сколько заплатили за обои, если один рулон обоев стоит 135 рублей?

9. От дома до остановки 6 км. Четверть пути пешеход прошёл за 20 мин. С какой скоростью он шёл?

10. За два часа автомобилист проехал четверть пути со скоростью 75 км/ч. Затем он увеличил скорость на 15 км/ч. За сколько часов проехал автомобилист оставшейся путь?

11. К квадратному участку земли присоединили участок вдвое меньшей площади. Треть получившегося поля засеяли гречихой. Какая площадь занята гречихой, если первоначальная сторона участка была 150 м?

12. На ферме 240 голов — коз, овец и коров. Овцы составляют 3/8 всего количества, коз на 20 больше, чем овец. Сколько коров на ферме?

13. Исследователи Арктики проплыли на льдине 48 километров, что составило, 2/3 всего расстояния до станции, а ещё через два часа льдина достигла острова. Какова была скорость льдины? Сколько времени занял весь путь?

14. Пеликаны пролекм за 4 часа. За это время они преодолели две трети расстояния от побережья до острова. На каком расстоянии до земли находится остров?


Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *