Найдите площадь ромба если

Найдите площадь ромба если

Как найти диагональ ромба

Ромб – четырехугольник, стороны которого равны и попарно параллельны. В отличие от квадрата, углы у которого прямые, ромб имеет по два острых и два тупых угла, лежащих на противоположных сторонах. А вот диагонали пересекаются под прямым углом и являются одновременно биссектрисами. Точка пересечения диагоналей делит их на равные части.

Формул для нахождения диагоналей ромба много, необходимо лишь знать исходные данные и подобрать подходящую.

1 Как найти диагональ ромба через сторону и угол: когда известны стороны и один из углов ромба, применяют следующие формулы:

2 Через сторону и половинный угол:

3 Через сторону и другую диагональ:

Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на четыре D^2+d^2=4a^2. Отсюда можно вывести, что:

4 Через угол и другую диагональ:

5 Через площадь и другую диагональ: традиционной формулой для нахождения площади ромба считается S=a*h. Но относительно диагоналей она будет выглядеть S=1/2*D*d. После преобразований получаем:

6 Через периметр и другую диагональ. В этом случае формулу выведем самостоятельно. Т.к. ромб имеет равные стороны, чтобы найти одну из них, периметр делим на 4: a=P/4. Диагонали перпендикулярны друг другу и образуют прямой угол. Тогда одна из сторон и половины длин диагоналей образуют прямоугольный треугольник. Далее воспользуемся теоремой Пифагора. Для большой диагонали она будет выглядеть: D=2*(a^2-(d/2)^2)^1/2. Аналогично для нахождения малой диагонали: d=2*(a^2-(D/2)^2)^1/2.

Пример:

Найти меньшую диагональ ромба, если периметр равен 20 см, большая диагональ равна 8 см.

Дано: Р=20см, D=8 см. Найдем длину одной стороны ромба, разделив периметр на четыре a=20/4=5 см. Воспользуемся формулой пункта №3 и получим d=(4*5^2-8^2)^1/2=6 см.

Несмотря на кажущуюся простоту такой геометрической фигуры, как ромб, он таит в себе много интересных моментов. К нему применимы свойства параллелограмма, биссектрисы, прямоугольного, а иногда и равнобедренного треугольника. Зная формулы, легко можно решить задачи по нахождению диагоналей ромба.

Площадь ромба по радиусу вписанной окружности и стороне


a — сторона r — радиус вписанной окружности
… подготовка …

Определения

Ромб — это геометрическая фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками (сторонами) одинаковой длины, у которой противоположные стороны попарно параллельны, а угол между любыми двумя смежными сторонами не равен 90 градусов.

Ромб – это частный случай параллелограмма.

Высота ромба – это отрезок проведенный из вершины ромба к противоположной стороне под углом в 90 градусов.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км2, м2, см2, мм2 и т.д.

Ромб — это частный случай параллелограмма. Он представляет собой плоскую четырехугольную фигуру, в которой все стороны равны. Данное свойство определяет то, что у ромбов параллельны противоположные стороны и равны противолежащие углы. Диагонали ромба пресекаются под прямым углом, точке их пересечения приходится на середину каждой диагонали, а углы из который они выходят делятся пополам. То есть они диагонали ромба являются биссектрисами углов. Исходя из приведенных определений и перечисленных свойств ромбов их площадь может быть определена различными способами.

Как найти площадь ромба?
1. Если известны обе диагонали ромба AC и BD, то площадь ромба может быть определена как половина произведения диагоналей.
S = ½ ∙ AC ∙ BD
где AC, BD — длина диагоналей ромба.
вычисление площади ромба Чтобы понять почему это так, можно мысленно вписать в ромб прямоугольник таким образом, чтобы стороны последнего были перпендикулярны диагоналям ромба. Становится очевидным, что площадь ромба будет равна половине площади вписанного данным образом в ромб прямоугольника, длина и ширина которого будут соответствовать величине диагоналей ромба.
2. По аналогии с параллелепипедом площадь ромба может быть на найдена как произведение его стороны, на высоту перпендикуляра с опущенного к данной стороне с противолежащей стороны.
S = а ∙ h
где а — сторона ромба;
h — высота перпендикуляра, опущенного на данную сторону.
3. Площадь ромба также равна квадрату его стороны, умноженному на синус угла α.
S = a2 ∙ sinα
где, a — сторона ромба;
α — угол между сторонами.
определение площади ромба 4. Также площадь ромба может быть найдена через его сторону и радиус вписанной в него окружности.
S = 2 ∙ a ∙ r
где, a — сторона ромба;
r — радиус вписанной в ромб окружности.
определение площади ромба по радиусу вписанной окружности Интересные факты
Слово ромб произошло от древнегреческого rombus, что в переводе означает «бубен». В те времена бубны действительно имели ромбовидную форму, а не круглую, как мы привыкли видеть их в настоящее время. С тех же времен произошло и название карточной масти «бубны». Очень широко ромбы различных видов используются в геральдике.

Так как ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны, то для него действуют все те же формулы, как и для параллелограмма, включая формулу нахождения площади через произведение высоты и стороны.

Площадь ромба можно найти, также зная его диагонали. Диагонали делят ромб на четыре абсолютно одинаковых прямоугольных треугольника. Если мы их рассортируем, так чтобы получить прямоугольник, то его длина и ширина будут равны одной целой диагонали и половине второй диагонали. Поэтому площадь ромба находится умножением диагоналей ромба, сокращенных на два (как площади получившегося прямоугольника).

Если в распоряжении только угол и сторона, то можно вооружиться диагональю в качестве помощника и начертить ее напротив известного угла. Тогда она разделит ромб на два конгруэнтных треугольника, площади которых в сумме дадут нам площадь ромба. Площадь каждого из треугольников будет равна половине произведения квадрата стороны на синус известного угла, как площадь равнобедренного треугольника. Поскольку таких треугольников два, то коэффициенты сокращаются, оставив только сторону во второй степени и синус:

Если внутри ромба вписать окружность, то его радиус будет относиться к стороне под углом 90°, что значит, что удвоенный радиус будет равен высоте ромба. Подставив вместо высоты h=2r в предыдущую формулу, получим площадь S=ha=2ra

Если же вместе с радиусом вписанной окружности, дана не сторона, а угол, то следует сначала найти сторону, проведя высоту таким образом, чтобы получить прямоугольный треугольник с заданным углом. Тогда сторона a может быть найдена из тригонометрических отношений по формуле . Подставляя это выражение в ту же стандартную формулу площади ромба, выходит


Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *