Периметр прямоугольного треугольника

Периметр прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — это частный вид произвольного треугольника. Как и любой другой треугольник он имеет три стороны, но один из его углов обязательно должен составлять 90 градусов. Ка только вы определили, что заданный треугольник является прямоугольным, можно приступить к нахождению его основных величин. Одной из характеристик прямоугольного треугольника является его периметр. Нахождению периметра прямоугольного треугольника посвящено много задач по геометрии.

Перед тем как мы рассмотрим основные способы нахождения периметра прямоугольного треугольника, хотелось бы напомнить, что периметр любой геометрической фигуры на плоскости равен сумме длин все ее сторон. Для все видов треугольников данное утверждение можно записать в виде следующего выражения:
P = a + b + c
где P — периметр треугольника;
a, b, c — стороны треугольника.
В прямоугольном треугольнике, как уже было сказано выше присутствует отличительная особенность в виде одного из углов, составляющего 90 градусов. Две стороны треугольника, прилегающие к данному углу называют катетами. Противоположную прямому углу сторону принято называть гипотенузой.
Необычные свойства прямоугольного треугольника было открыто Пифагором, который обнаружил, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов, что может быть записано в виде выражения:
c2 = a2 + b2
Исходя из теоремы Пифагора появилась возможность определять периметр прямоугольного треугольника по его двум любым сторонам известной длины. Если известны длины катетов, то периметр треугольника определяется через нахождение величины гипотенузы по формуле:
P = a + b + √(a2 + b2)
Если известен только один из катетов и длина гипотенузы, то периметр треугольника определяется через нахождение величины недостающего катета по формуле:
P = b + c + √(c2 — b2)
или
P = a + c + √(c2 — a2)
Если в прямоугольном треугольнике известна только длина гипотенузы с и один из прилегающих к ней острых углов α, то периметр треугольника в данном случае может быть определен по формуле:

Как найти периметр прямоугольного треугольника

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Если все длины всех сторон прямоугольного треугольника известны, то его периметр P вычисляется по формуле:

P = a + b + с.

Таким образом, задача нахождения периметра сводится определению длины всех сторон треугольника. Эта задача решается по-разному, в зависимости от того, какие параметры прямоугольного треугольника известны.

По двум сторонам

Если известны две из трех строн прямоугольного треугольника, то третью сторону можно вычислить с помощью теоремы Пифагора. Если известны длины катетов (сторон, прилежащие к прямому углу), то длина третьей стороны (гипотенузы) вычисляется по формуле:

c = √(a2 + b2),

где a и b — катеты, а c — гипотенуза. Если же известна длина гипотенузы и одного из катетов, то второй катет можно найти по формуле:

a = √(c2 – b2).

Теперь периметр P прямоугольного треугольника вычисляется по формулам:

P = a + b + √(a2 + b2) = √(c2 – b2) + b + с.

По гипотенузе и углу

Если известна гипотенуза c и один из острых углов α, вычислить два катета можно по формулам:

a = с sin α,

b = с cos α.

Подставив эти выражения в формулу для периметра, получаем:

P = a + b + с = с sin α + с cos α + с = с (sin α + cos α + 1).

По катету и противолежащему углу

Если задан катет a и противолежащий ему острый угол α, то сначала надо вычислить другой катет b и гипотенузу с по формулам:

b = a/tg α,

c = a/sin α.

Затем пеример P вычисляется по формуле:

P = a + b + с = a + a/tg α + a/sin α = a (1 + 1/tg α + 1/sin α).

По катету и прилежащему углу

Если известен катет a и прилежащий в нему острый угол β, то надо учесть, что в прямогульном треугольнике сумма острых углов составляет 90°:


Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *